Bilangan Prima Terbesar

Tahukah anda tentang, Apa itu BILANGAN PRIMA"?. Tentu anda masih ingat definisi bilangan prima, sejak di sekolah dasar kita sudah mulai diperkenalkan dengan yang namanya bilangan prima. "Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua faktor pembagi,yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri". Contoh bilangan prima yaitu : 2, 3, 5, 7,11,13,17,19 dan seterusnya sampai tak terhingga.

Dapatkah Anda menyebutkan bilangan prima terbesar? Barangkali pertanyaan ini belum pernah terlintas di benak para siswa sekolah maupun Gurunya. Namun jangan khawatir,bilangan terbesar di dunia baru-baru ini sudah ditemukan, atau paling tidak untuk saat ini. Mudah-mudahan suatu saat nanti putra-putri Indonesia ada yang berhasil menemukan bilangan prima melebihi dari yang sudah ditemukan oleh para pecinta matematika di Universitas California Los Angeles (UCLA) ini. Mau tahu bilangan prima terbesar tersebut?

Pecinta matematika di Universitas California di Los Angeles (UCLA), berhasil mengungkapkan bilangan prima terbesar yang berhasil dihitung sejauh ini. Tentu sulit untuk menyebutkan maupun menuliskannya karena bilangan tersebut terdiri dari 13 juta digit atau angka.

Untuk menghitungnya tidak mudah karena yang harus dicari adalah bilangan prima Mersenne (Marin Marsenne, 8 September 1588 – 1 September 1648), yang pertama kali memperkenalkannya. Bilangan tersebut didefiniskan sebagai hasil dari 2 pangkat n dikurangi 1, dengan n yang juga bilangan prima. Bilangan Prima Mersenne dituliskan dengan rumus:
Mn = 2^n − 1

Di antara semua bilangan prima Mersenne yang sudah ditemukan, sepuluh bilangan terbesarnya ditemukan dengan menggunakan GIMPS. Bilangan prima Mersenne terbesar, sekaligus bilangan prima terbesar yang diketahui saat ini memiliki nilai n=43.112.609 dengan mencapai 13 juta digit angka (ditemukan: 2011). Kebanyakan bilangan-bilangan prima terbesar yang diketahui merupakan bilangan prima Mersenne.

Belum diketahui apakah jumlah bilangan prima Mersenne tak terhingga.

Berikut adalah tabel daftar bilangan prima Mersenne yang sudah ditemukan.

# | n | Mn | JumlahAngkaDalamMn | TanggalDitemukan | Penemu
1 2 3 1
2 3 7 1
3 5 31 2
4 7 127 3
5 13 8191 4 1456
6 17 131071 6 1588 Cataldi
7 19 524287 6 1588 Cataldi
8 31 2147483647 10 1772 Euler
9 61 2305843009213693951 19 1883 Pervushin
10 89 618970019…449562111 27 1911 Powers
11 107 162259276…010288127 33 1914 Powers
12 127 170141183…884105727 39 1876 Lucas
13 521 686479766…115057151 157 30 Jan 1952 Robinson
14 607 531137992…031728127 183 30 Jan 1952 Robinson
15 1,279 104079321…168729087 386 25 Jun 1952 Robinson
16 2,203 147597991…697771007 664 7 Okt 1952 Robinson
17 2,281 446087557…132836351 687 9 Okt 1952 Robinson
18 3,217 259117086…909315071 969 8 Sep 1957 Riesel
19 4,253 190797007…350484991 1.281 3 Nov 1961 Hurwitz
20 4,423 285542542…608580607 1.332 3 Nov 1961 Hurwitz
21 9,689 478220278…225754111 2.917 11 Mei 1963 Gillies
22 9,941 346088282…789463551 2.993 16 Mei 1963 Gillies
23 11,213 281411201…696392191 3.376 2 Jun 1963 Gillies
24 19,937 431542479…968041471 6.002 4 Mar 1971 Tuckerman
25 21,701 448679166…511882751 6.533 30 Okt 1978 Noll & Nickel
26 23,209 402874115…779264511 6.987 9 Feb 1979 Noll
27 44.497 854509824…011228671 13,395 8 Apr 1979 Nelson & Slowinski
28 86.243 536927995…433438207 25,962 25 Sep 1982 Slowinski
29 110.503 521928313…465515007 33,265 28 Jan 1988 Colquitt & Welsh
30 132,049 512740276…730061311 39.751 20 Sep 1983 Slowinski
31 216,091 746093103…815528447 65.050 6 Sep 1985 Slowinski
32 756,839 174135906…544677887 227.832 19 Feb 1992 Slowinski & Gage
33 859,433 129498125…500142591 258.716 10 Jan 1994 Slowinski & Gage
34 1,257,787 412245773…089366527 378.632 3 Sep 1996 Slowinski & Gage
35 1,398,269 814717564…451315711 420.921 13 Nov 1996 GIMPS/JoelArmengaud
36 2,976,221 623340076…729201151 895.932 24 Agu 1997 GIMPS/GordonSpence
37 3,021,377 127411683…024694271 909.526 27 Jan 1998 GIMPS/RolandClarkson
38 6,972,593 437075744…924193791 2.098.960 1 Jun 1999 GIMPS/NayanHajratwala
39 13,466,917 924947738…256259071 4.053.946 14 Nov 2001 GIMPS/MichaelCameron
40* 20,996,011 125976895…855682047 6.320.430 17 Nov 2003 GIMPS/MichaelShafer
41* 24,036,583 299410429…733969407 7.235.733 15 Mei 2004 GIMPS/JoshFindley
42* 25,964,951 122164630…577077247 7.816.230 18 Feb 2005 GIMPS/MartinNowak
43* 30,402,457 315416475…652943871 9.152.052 15 Des 2005 GIMPS/CurtisCooper dan StevenBoone
44* 32,582,657 124575026…053967871 9.808.358 4 September 2006 GIMPS/CurtisCooper dan StevenBoone
45(46) 37,156,667 ------------------- 11,185,272 06 Sept 2008 GIMPS/Hans-MichaelElvenich
46(47) 42,643,801 ------------------- 12,837,064 12 Apr 2008 GIMPS/UCLA-OddMagnarStrindmo
47(45) 43,112,609 ------------------- 12,978,189 23 Agu 2008 GIMPS/UCLA

Makna Matematika (Matematika itu Indah, Asyik, Menyenangkan, ...)

Matematika itu indah, karena: Dalam matematika terdapat seni angka dan perhitungannya yang mengajari tentang ketelitian dan kejujuran, Melalui matematika kita dapat melihat sifat kesimetrian berbagai bentuk/pola kehidupan yang mengajari tentang keteraturan. Melalui matematika kita dapat menyatakan kebenaran yang mengajari tentang berpikir logis dan sistematis.
Matematika itu menyenangkan dan mengasyikan, karena: Bekerja dan bermain dengan matematika dapat membuat kita senang dalam pemecahan masalah dan terkadang dapat melewatkan waktu.
Matematika itu suatu kebersamaan, karena: Bahasa matematika dapat diterima dan dipakai oleh setiap orang.

Berikut, beberapa bentuk seni matematika:

Sequential Inputs of numbers with 8
1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

Sequential 1's with 9
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 + 10 = 1111111111

Sequential 8's with 9
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Numeric Palindrome with 1's
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

Without 8
12345679 x 9 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999

Sequential Inputs of 9
9 x 9 = 81
99 x 99 = 9801
999 x 999 = 998001
9999 x 9999 = 99980001
99999 x 99999 = 9999800001
999999 x 999999 = 999998000001
9999999 x 9999999 = 99999980000001
99999999 x 99999999 = 9999999800000001
999999999 x 999999999 = 999999998000000001
......................................

Sequential Inputs of 6
6 x 7 = 42
66 x 67 = 4422
666 x 667 = 444222
6666 x 6667 = 44442222
66666 x 66667 = 4444422222
666666 x 666667 = 444444222222
6666666 x 6666667 = 44444442222222
66666666 x 66666667 = 4444444422222222
666666666 x 666666667 = 444444444222222222
......................................

Pengintegrasian Metode Monte Carlo

MAKALAH
Orgenes Tonga

STUDI DAN IMPLEMENTASI PENGINTEGRASIAN NUMERIK MULTI DIMENSI
MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO


A. PENDAHULUAN
Banyak permasalahan dalam ilmu sains yang melibatkan integrasi. Terkadang hasil integrasi ini dapat dihitung secara langsung secara matematis, tetapi seringkali hanya dibutuhkan suatu angka pasti yang mendekati hasil integrasi yang sebenarnya. Cara penghitungan untuk mendapatkan angka yang mendekati hasil integrasi yang sebenarnya disebut dengan integrasi numerik. Ada beberapa metode integrasi yang dikenal, akan tetapi pada makalah ini hanya akan berfokus pada metode Monte Carlo. Semua metode yang berupa prosedur numerik dimana keluarannya tergantung setidaknya pada sebuah variabel bilangan acak bisa disebut sebagai metode integrasi Monte Carlo.
Simulasi Monte Carlo adalah proses menurunkan secara acak nilai variabel tidak pasti secara berulang-ulang untuk mensimulasikan model. Metode Monte Carlo karena itu merupakan teknik stokastik. Kita dapat menemukan metode Monte Carlo diaplikasikan dalam berbagai bidang, mulai dari ekonomi sampai fisika nuklir untuk pengaturan lalu lintas aliran. Tentu saja cara aplikasinya berbeda dari satu bidang ke bidang lainnya, dan ada banyak sekali himpunan bagian Monte Carlo meskipun dalam satu bidang yang sama. Hal yang menyamakan semua itu adalah bahwa percobaan Monte Carlo membangkitkan bilangan acak untuk memeriksa permasalahan.
Walaupun menggunakan bilangan acak, Monte Carlo mempunyai akurasi yang cukup tinggi karena mempunyai metode solusi berdasarkan pada dasar teori probabilitas dan statistik. Untuk menghitung nilai integral dengan menggunakan metode Monte Carlo dibutuhkan suatu pembangkit bilangan acak dimana terdapat masalah juga dalam bagaimana bilangan semu-acak yang dihasilkan oleh komputer dapat memenuhi kebutuhan tersebut. Berbagai penerapan dari pengintegralan dengan metode Monte Carlo, diantaranya: aproksimasi bilangan Pi, aproksimasi masalah pengintegralan numerik, aproksimasi masalah cardioids, model Ising dalam Fisika, fenomena partikel dimana Monte Carlo menghasilkan titik-titik pada ruang fase multipartikuler, dan lainnya.


B. PENGINTEGRASIAN METODE MONTE CARLO

1. Sejarah Monte Carlo
Ide awal dimulainya pencarian suatu metode pendekatan untuk mencari suatu solusi dalam pemecahan masalah perlindungan radiasi dan jarak tempuh neutron, yang dicetuskan Enrico Fermi di tahun 1930-an. Pada saat itu para fisikawan di Laboratorium Sains Los Alamos sedang memeriksa perlindungan radiasi dan jarak yang akan neutron tempuh melalui beberapa macam material. Namun data yang didapatkan tidak dapat membantu untuk memecahkan masalah yang ingin mereka selesaikan karena ternyata masalah tersebut tidak bisa diselesaikan dengan penghitungan analitis. Lalu John von Neumann dan Stanislaw Ulam memberikan ide untuk memecahkan masalah dengan memodelkan eksperimen di computer, dimana metode tersebut dilakukan secara probabilitas. Karena takut hasil karyanya ditiru oleh orang lain, metode tersebut diberi kode nama dengan sebutan metode Monte Carlo.

BACA SELENGKAPNYA...

DOWNLOAD Pengintegrasian Metode Monte Carlo, KLIK DI SINI