Sisa, jika 3^444 + 4^333 dibagi 5

Berapakah sisa, jika 3^444 + 4^333 dibagi 5

Solusi:

Bentuk pembagian berbentuk a^p + b^q. Maka perlu diubah ke bentuk a^n + b^n.
3^444 + 4^333 = (3^4)^111 + (4^3)^111.
Sekarang, (3^4)^111 + (4^3)^111 akan habis dibagi oleh 3^4 + 4^3 = 81 + 64 = 145.
Selanjutnya 145 habis dibagi oleh 5.
Maka Sisanya adalah 0.

Masalah Sisa

Masalah 1:
berapakah sisa, jika 44! dibagi 47

Solusi: 23

Teorema:
(n-2)! sisa pembagiannya 1 ketika dibagi oleh n, jika n adalah bilangan prima.
Sehingga:
=> 45! sisa pembagian oleh 47 adalah 1
=> 45*44! sisa pembagian oleh 47 adalah 1
Misalkan sisa pembagian dari 45 adalah -2 dan sisa pembagian dari 44! adalah x
=> -2*x sisa pembagian oleh 47 adalah 1
=> x = -24 jadi -2*-24 = 48 => (sisa 1 dari 47)

=> Sisa pembagian dari 44! oleh 47 adalah 23. (Diperoleh dari 47-24 = 23)

Cara Lain:

Teorema Wilson:
(n-1)! / n memberikan sisa n-1 jika n adalah bilangan Prima.
Sehingga:
46!/47 sisanya = 46
46*45! /47 sisanya = 46
jadi 45! /47 sisanya adalah 1
=> 45*44! /47 sisanya = 1, dimana 45/47 sisanya = -2, sehingga
=> -2*44! /47 sisanya = 1
Anggap y/47 sisanya = 1, maka y = 48
=> -2*44! /47 sisanya = 1
=> (-2*-24) /47 sisanya = 1
=> Diperoleh 44! /47 sisanya = 23. (yaitu 47-24 = 23)



Masalah 2:
berapakah sisa, jika 2^2012 dibagi 7

Solusi: ???

Soal Olimpiade Matematika

Called mathematics the "queen of the sciences" and considered number theory the "queen of mathematics"
Matematika disebut "ratu ilmu pengetahuan" dan teori bilangan dianggap sebagai "ratu matematika" 

(Beiler 1966, Goldman 1997).

http://www.orgenestonga.blogspot.com

SOAL1:
Diketahui persamaan kuadrat x^2+x+1=0 akar-akarnya adalah a dan b. Tentukanlah nilai dari a^6033 + b^6033

Solusi:
karena a adalah salah satu akar maka dapat x^2+x+1=0 ditulis a^2+a+1, sehingga:
a^2+a+1=0 maka 1 = -a^2 - a
a^2 = -a - 1 dikali a menjadi
a^3 = -a^2 - a
a^3 = 1
karena a adalah salah satu akar maka dapat x^2+x+1=0 ditulis b^2+b+1, sehingga:
b^2+b+1=0 maka 1 = -b^2 - b
b^2 = -b - 1 dikali b menjadi
b^3 = -b^2 - b
b^3 = 1

Sehingga
a^6033 + b^6033
=(a^3)^2011 + (b^3)^2011
=(1)^2011 + (1)^2011
=(1) + (1)
=2

SOAL2:
1+4+9+16+25+...+(2011^2)=???

Solusi:
Bilangan Kuadrat sama dengan Penjumlahan bilangan ganjil pertama.
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100
dan seterusnya ...
==>1 + 3 + ... + (2n−3) + (2n−1) =(1 + 3 + ... + (2n−3))+ (2n−1)
==>(n-2)^2+(2n-1)=n^2

Jumlah bilangan kuadrat pertama adalah:
n(n + 1)(2n + 1)/6
maka:
(1 + 4 + 9 + ... + n^2)= n(n + 1)(2n + 1)/6
untuk n=2012:
=(1^2)+(2^2)+(3^2)+(4^2)+...+(2011^2)
=(2011)(2012)(2*2012+1)/6
=(4046132)(4025)/6
=16285681300/6


SOAL3:
Jika
S=akar[1+(1/1^2)+(1/2^2)]+akar[1+(1/2^2)+(1/3^2)]+akar[1+(1/3^2)+(1/4^2)]+...+akar[1+(1/2010^2)+(1/2012^2)]
Maka
S=...

SOLUSI:
Sk=akar{1+(1/k^2)+(1/(k+1)^2)}
=akar{[((k^2)((k+1)^2))/((k^2)((k+1)^2))]+[((k+1)^2)/((k^2)((k+1)^2))]+[(k^2)/((k^2)((k+1)^2))]}
=akar{[((k^2)((k+1)^2))+((k+1)^2)+(k^2)]/[(k^2)((k+1)^2)]}
=akar{[((k^2)(k^2+2k+1))+(k^2+2k+1)+(k^2)]/[(k^2)((k+1)^2)]}
=akar{[(k^4+2k^3+k^2)+(k^2+2k+1)+(k^2)]/[(k(k+1))^2]}
=akar{[k^4+2k^3+3k^2+2k+1]/[(k(k+1))^2]}
=akar{[(k^2+k+1)^2]/[(k(k+1))^2]}
={[k^2+k+1]/[k(k+1)]}
=[k^2+k+1]/[k^2+k]
=[(k^2+k)+(1)]/[k^2+k]
=[(k^2+k)/(k^2+k)]+[(1)/(k^2+k)]
=[1]+[(1)/(k^2+k)]
=[1]+[(1)/(k(k+1))]
=[1]+[(1/k)-(1/(k+1))]
Maka:
S=akar[1+(1/1^2)+(1/2^2)]+akar[1+(1/2^2)+(1/3^2)]+akar[1+(1/3^2)+(1/4^2)]+...+akar[1+(1/2010^2)+(1/2012^2)]
S=[1+(1/1)-(1/2)]+[1+(1/2)-(1/3)]+[1+(1/3)-(1/4)]+...+[1+(1/2009)-(1/2010)]+[1+(1/2010)-(1/2011)]
=[1+1+1+...+1+(1/1)]-[(1/2011)]
=[2010+(1)]-[(1/2011)]
=[2011]-[(1/2011)]


SOAL4:
Jika N=(9)+(99)+(999)+(9999)+...+(999...9), dimana banyaknya angka 9 pada suku terakhir sebanyak 2011.
Tentukan nilai dai N
Tentukan lima angka terakhir nilai N

SOLUSI:
N=(9)+(99)+(999)+(9999)+...+(999...9), suku terakhir adalah angka 9 sebanyak 2011 angka
N=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+...(1000...0-1), angka nol pada suku terakhir sebanyak 2011
N=[(10)+(100)+(1000)+...+(1000...0)]-[1+1+1+...+1], angka nol pada suku terakhir dalam kelompok I sebanyak 2011, dan angka 1 dalam kelompok II sebanyak 2011
N=[111...10]-[2011], angka 1 dalam kelompok I sebanyak 2011
N=111...109099, angka 1 sebanyak 2007
Lima angka terakhir dari nilai N adalah 09099


SOAL5:
Jika A1=2, A2=3, dan untuk k>2 didefinisikan bahwa: Ak=[(1/2)*A(k-2)]+[(1/3)*A(k-1)]
Tentukan: A1+A2+A3+A4+A5+...

SOLUSI:
Jika anda berusaha, pasti anda bisa jawab...



SOAL6: 
Jika (37/13)=2+(1/(x+(1/(y+(1/z))))) maka x*y*z=...

SOLUSI:
Jika (37/13)=2+(1/(x+(1/(y+(1/z))))) maka x*y*z=...
(37/13)=2+(1/(1+(1/(5+(1/2))))) maka x*y*z=1*5*2=10


SOAL7:
Jika 1+2+3+...+n = yyy, maka nilai n dan yyy adalah...

SOLUSI:
1+2+3+...+n = yyy
(n/2)(U1+Un) = 111y
(n/2)(1+n) = 3*y*37
(1/2)n + (1/2)n^2 = 3*y*37  dikalikan 2, maka
n^2 + n = 6*y*37
n(n+1) = 6*y*37
analisa:
n*(n+1) = 6*y*37
(36)*(36+1) = (6*6)*(37)
(36)*(37) = 6*6*37
Maka:
n=36 dan y=6


SOAL8:
Diketahui:
A=3+33+333+...+333...3 (angka 3 pada suku yang terakhir sebanyak 2011 angka)
B adalah jumlah digit-digit A
Maka nilai B = ...?


SOAL9:
Rumus untuk setiap deret berikut adalah:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =...
1 + 4 + 9 + 16 + ... + n^2 =...
1 + 8 + 27 + 64 + ... + n^3 =...
1 + 16 + 81 + 256 + ... + n^4 =...
1 + 32 + 243 + 1024 + ... + n^5 =...
1 + 64 + 729 + 4096 + ... + n^6 =...
1 + 128 + 2187 + 16384 + ... + n^7 =...
1 + 256 + 6561 + 65536 + ... + n^8 =...
1 + 512 + 19683 + 262144 + ... + n^9 =...
1 + 1024 + 59049 + 1048576 + ... + n^10 =...

SOLUSI:
Rumus umumnya adalah:


1+2+3+4+...+ n = (1/2)n² + (1/2)n
1+4+9+16+...+ n^2 = (1/3)n³ + (1/2)n² + (1/6)n
1+8+27+64+...+ n^3 = (1/4)n⁴ + (1/2)n³ + (1/4)n²
1+16+81+256+...+ n^4 = (1/5)n⁵ + (1/2)n⁴ + (1/3)n³ - (1/30)n
1+32+243+1024+...+ n^5 = (1/6)n⁶ + (1/2)n⁵ + (5/12)n⁴ - (1/12)n²
1+64+729+4096+...+ n^6 = (1/7)n⁷ + (1/2)n⁶ + (1/2)n⁵ - (1/6)n³ + (1/42)n
1+128+2187+16384+...+ n^7 = (1/8)n⁸ + (1/2)n⁷ + (7/12)n⁶ - (7/24)n⁴ + (1/12)n²
1+256+6561+65536+...+ n^8 = (1/9)n⁹ + (1/2)n⁸ + (2/3)n⁷ - (7/15)n⁵ + (2/9)n³ - (1/30)n
1+512+19683+262144+...+ n^9 = (1/10)n¹⁰ + (1/2)n⁹ + (3/4)n⁸ - (7/10)n⁶ + (1/2)n⁴ - (3/20)n²
1+1024+59049+1048576+...+ n^10 = (1/11)n¹¹ + (1/2)n¹⁰ + (5/6)n⁹ - n⁷ + n⁵ - (1/2)n³ + (5/66)n


SOAL10:
Hasil dari (1,5)^2 + (2,5)^2 + (3,5)^2 + ... + (n + 0,5)^2 = ....

SOLUSI:
(1,5)^2 + (2,5)^2 + (3,5)^2 + ... + (n + 0,5)^2
= (1 + 0,5)^2 + (2 + 0,5)^2 + (3 + 0,5)^2 + ... + (n + 0,5)^2
= (1^2 + 1*1 + 0,25) + (2^2 + 1*2 + 0,25) + (3^2 + 1*3 + 0,25) + ... + (n^2 + 1*n + 0,25) 
= (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) + (1*1 + 1*2 + 1*3 + ... + 1*n) + (0,25 + 0,25 + 0,25 + ... + 0,25)
(kelompok I, II dan III, masing-masing sebanyak n suku)
= {[n(n+1)(2n+1)]/6} + {[n(1+n)]/2} + {n(0,25)}
= {[2n(n+1)(2n+1)]/12} + {[6n(1+n)]/12} + {[12n(0,25)]/12}
= {[(2n^2 + 2n)(2n+1)]/12} + {[6n^2 + 6n]/12} + {[3n]/12}
= {[4n^3 + 2n^2 + 4n^2 + 2n]/12} + {[6n^2 + 6n]/12} + {[3n]/12}
= {[4n^3 + 12n^2 + 11n]/12}


SOAL11:
Jika R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga dengan sisinya a, b, c, maka tentukan luas segitiga tersebut.

SOLUSI:
pasti anda bisa selesaikan...

SOAL12: 

Hasil dari C(1,2009) + C(2,2009) + C(3,2009) + ... + C(1004,2009) = ...

SOLUSI:

C(1,2009) + C(2,2009) + C(3,2009) + ... + C(1004,2009) = ...

(x+y)^n = SIGMA(k=0..n) dari C(k,n)*[x^(n-k)]*[y^k]. Selanjutnya jika x=1, y=1, n=2009, maka:

(1+1)^2009 = C(0,2009) + C(1,2009) + C(2,2009) + ... + C(1004,2009) + C(1005,2009) + ... + C(2008,2009)

(2)^2009 = C(0,2009) + C(1,2009) + C(2,2009) + ... + C(1004,2009) + C(1005,2009) + ... + C(2008,2009)

[(2)^2009] - [C(0,2009)] = C(1,2009) + C(2,2009) + ... + C(1004,2009) + C(1005,2009) + ... + C(2008,2009)

Karena: {C(1,2009)=C(2008,2009)}, {C(2,2009)=C(2007,2009)}, ..., {C(1004,2009)=C(1005,2009)} maka

[(2)^2009] -  [C(0,2009)] = 2* [C(1,2009) + C(2,2009) + C(3,2009) + ... + C(1004,2009)]

{[(2)^2009] -  [C(0,2009)]} / 2 = [C(1,2009) + C(2,2009) + C(3,2009) + ... + C(1004,2009)]

{[(2)^2009] - [1]} / 2 = C(1,2009) + C(2,2009) + C(3,2009) + ... + C(1004,2009)


SOAL 13:

Titik A dan B terletak pada parabola y = 4 + x – x^2. Jika titik asal O merupakan titik tengah ruas garis AB, maka panjang AB adalah....


SOLUSI:
Persamaan kuadrat Y = 4 + X - X^2
Misalkan titik A(Xa, Xa) dan titik B(Xb, Yb). Konsep titik pada kurva secara aljabar mengatakan bahwa nilai absis dan ordinat dari titik itu harus memenuhi persamaan kurva yang diberikan. Dalam hal ini kita peroleh
Ya= 4 + (Xa) – (Xa)^2 dan Yb = 4 + Xb – Xb^2 .....(1)
Kemudian, karena titik asal O(0,0) merupakan titik tengah ruas garis AB, maka berdasarkan konsep titik tengah diperoleh
Xa+ Xb= 0 dan Ya + Yb = 0 .....(2)
Agar persamaan (2) dapat digunakan, maka persamaan pertama dan kedua dalam persamaan (1) harus dijumlahkan sehingga diperoleh
Ya + Yb= 8 + Xa + Xb – (Xa^2 + Xb^2)
atau
Xa^2 + Xb^2 = 8
Sekali lagi kita perlu konsep
(Xa + Xb)^2 - 2XaXb = Xa^2 + Xb^2 = 8
Dengan demikian,
-2XaXb = 8 maka XaXb = –4 atau Xb = –4/Xa
Setelah disubstitusi ke bagian pertama dalam persamaan (2) diperoleh
Xa = +-2 dan Xb = -+2. Dari sini, kita memperoleh Ya = +-2 dan Yb = -+2.
Dengan demikian, titik A(2, 2) dan B(–2, –2) atau sebaliknya.
Sehingga jarak A ke B yaitu:
= akar [(Xb-Xa)^2 + (Yb-Ya)^2]
= akar [(16) + (16)]
= akar [2*16]
= 4 * akar(2)