Pengintegrasian Metode Monte Carlo

MAKALAH
Orgenes Tonga

STUDI DAN IMPLEMENTASI PENGINTEGRASIAN NUMERIK MULTI DIMENSI
MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO


A. PENDAHULUAN
Banyak permasalahan dalam ilmu sains yang melibatkan integrasi. Terkadang hasil integrasi ini dapat dihitung secara langsung secara matematis, tetapi seringkali hanya dibutuhkan suatu angka pasti yang mendekati hasil integrasi yang sebenarnya. Cara penghitungan untuk mendapatkan angka yang mendekati hasil integrasi yang sebenarnya disebut dengan integrasi numerik. Ada beberapa metode integrasi yang dikenal, akan tetapi pada makalah ini hanya akan berfokus pada metode Monte Carlo. Semua metode yang berupa prosedur numerik dimana keluarannya tergantung setidaknya pada sebuah variabel bilangan acak bisa disebut sebagai metode integrasi Monte Carlo.
Simulasi Monte Carlo adalah proses menurunkan secara acak nilai variabel tidak pasti secara berulang-ulang untuk mensimulasikan model. Metode Monte Carlo karena itu merupakan teknik stokastik. Kita dapat menemukan metode Monte Carlo diaplikasikan dalam berbagai bidang, mulai dari ekonomi sampai fisika nuklir untuk pengaturan lalu lintas aliran. Tentu saja cara aplikasinya berbeda dari satu bidang ke bidang lainnya, dan ada banyak sekali himpunan bagian Monte Carlo meskipun dalam satu bidang yang sama. Hal yang menyamakan semua itu adalah bahwa percobaan Monte Carlo membangkitkan bilangan acak untuk memeriksa permasalahan.
Walaupun menggunakan bilangan acak, Monte Carlo mempunyai akurasi yang cukup tinggi karena mempunyai metode solusi berdasarkan pada dasar teori probabilitas dan statistik. Untuk menghitung nilai integral dengan menggunakan metode Monte Carlo dibutuhkan suatu pembangkit bilangan acak dimana terdapat masalah juga dalam bagaimana bilangan semu-acak yang dihasilkan oleh komputer dapat memenuhi kebutuhan tersebut. Berbagai penerapan dari pengintegralan dengan metode Monte Carlo, diantaranya: aproksimasi bilangan Pi, aproksimasi masalah pengintegralan numerik, aproksimasi masalah cardioids, model Ising dalam Fisika, fenomena partikel dimana Monte Carlo menghasilkan titik-titik pada ruang fase multipartikuler, dan lainnya.


B. PENGINTEGRASIAN METODE MONTE CARLO

1. Sejarah Monte Carlo
Ide awal dimulainya pencarian suatu metode pendekatan untuk mencari suatu solusi dalam pemecahan masalah perlindungan radiasi dan jarak tempuh neutron, yang dicetuskan Enrico Fermi di tahun 1930-an. Pada saat itu para fisikawan di Laboratorium Sains Los Alamos sedang memeriksa perlindungan radiasi dan jarak yang akan neutron tempuh melalui beberapa macam material. Namun data yang didapatkan tidak dapat membantu untuk memecahkan masalah yang ingin mereka selesaikan karena ternyata masalah tersebut tidak bisa diselesaikan dengan penghitungan analitis. Lalu John von Neumann dan Stanislaw Ulam memberikan ide untuk memecahkan masalah dengan memodelkan eksperimen di computer, dimana metode tersebut dilakukan secara probabilitas. Karena takut hasil karyanya ditiru oleh orang lain, metode tersebut diberi kode nama dengan sebutan metode Monte Carlo.

BACA SELENGKAPNYA...

DOWNLOAD Pengintegrasian Metode Monte Carlo, KLIK DI SINI

Pemeriksaan Model Regresi Terbaik

Memilih model regresi terbaik perlu dilakukan dalam suatu penelitian, agar dapat dilakukan pengambilan keputusan terbaik.

Sebagai ilustrasi: Data lulusan siswa SMA yang melanjutkan studi pada Universitas di Amerika. Data memuat hubungan antara skor ujian scholastic matematika, skor ujian scholastic bahasa inggris, indeks prestasi matematika dan indeks prestasi bahasa inggris dengan indeks prestasi akademik tahun pertama. (Sumber data: Akhmad Fauzy, Jurnal LOGIKA, Volume 3, No.4, 1999)

Selanjutnya berdasarkan data yang ada, akan dilakukan pemeriksaan model regresi terbaik, dengan memanfaatkan program aplikasi Minitab_15.


Kriteria. Beberapa kriteria tentang model/persamaan regresi terbaik yang dapat dijadikan sebagai pegangan dalam mengevaluasi nilai-nilai pada table 1, antara lain :
1). Nilai R^2 akan mempunyai nilai yang terbesar dan pola peubah tersebut konsisten dengan persamaan
2). Nilai S^2 akan mempunyai nilai yang terkecil
3). Nilai Cp Mallows akan mempunyai nilai yang hampir sama dengan banyaknya jumlah parameter, termasuk β_0. Nilai Cp Mallows pada persamaan regresi yang melibatkan semua peubah penjelas tidak dapat dipergunakan sebagai pegangan dalam memilih persamaan regresi terbaik, karena nilai dari Cp Mallows tersebut akan sama dengan jumlah parameter (termasuk β_0).

Analisis Model Regresi Terbaik. Selanjutnya, akan dilakukan analisis statistika untuk pemeriksaan model regresi terbaik. Metode yang dipakai dalam analisis model regresi terbaik adalah metode Stepwise menggunakan program aplikasi Minitab_15. Pemilihan metode ini dikarenakan untuk mengurangi kemungkinan adanya muktikolinearitas dari persamaan/model yang dihasilkan.

Berdasarkan data nilai analisis pada Stepwise Regression, kita dapat memilih model regresi terbaik. Secara terpisah, untuk menentukan model regresi terbaik, kita perhatikan dahulu model regresi untuk satu peubah penjelas. Selanjutnya kita perhatikan untuk dua, tiga dan empat peubah penjelas.

Dengan demikian, diperoleh model regresi terbaik yang dapat digunakan sebagai alat dalam membuat keputusan mengenai apakah seorang pelamar dapat diterima atau tidak pada universitas tersebut.

Selengkapnya... Silahkan Download, KLIK DI SINI

Metode Kuadrat Terkecil Terkendala

Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method, adalah salah satu metode ‘pendekatan’ yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk: (a). regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik-titik data diskretnya (dalam pemodelan), dan (b). Analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model).
Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan sesatan terdistribusi (“distributed error” approximation methods), berdasarkan karakterisik kerjanya yang melakukan pengurangan sesatan menyeluruh (global error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole approximation interval) sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode ini berbeda dengan metode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui pendekatan melalui deret ‘Taylor’, karena metode asimptotis memiliki karakteristik kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang meningkat.
Metode kuadrat terkecil ini juga memainkan peranan penting dalam teori statistik, karena metode ini seringkali digunakan dalam penyelesaian problem-problem yang melibatkan kumpulan data yang tersusun secara acak, seperti dalam sesatan-sesatan percobaan.

Download Selengkapnya....
copy link berikut dan paste di Address bar lalu Enter
http://www.4shared.com/document/LqmGPPkn/Metode_Kuadrat_Terkecil_Terken.html

Menghitung Besar Sampel Penelitian

Berlandaskan tulisan yang dibuat oleh Krejcie dan Morgan (1970), Sudjana (1989), Gaspersz (1991), Supranto (1998), dan Barlett et.al. (2001), ketika seorang peneliti telah memutuskan untuk menggunakan pendekatan statistika dalam menentukan ukuran sampel, paling tidak harus sangat memperhatikan empat aspek mendasar berikut ini:

1.        Apa tujuan penelitian yang akan dilaksanakan, apakah untuk menduga nilai rata-rata, total, atau proporsi (persentase) populasi, dan bagaimana analisis data akan dilakukan, cukup deskriptif atau inferensi. Mengapa kita perlu mengetahui dengan tegas bagaimana variabel-variabel penelitian akan diukur. Sebabnya adalah, kalau variabel penelitian sifatnya katageorial, artinya akan menghasilkan pengukuran dalam skala nominal, dan deskripsi datanya menggunakan frekuensi yang sering ditampilkan dalam bentuk proporsi atau persentase. Sedangkan kalau ukuran variabel dalam skala interval atau rasio, sering dideskripsikan dengan nilai rata-rata (mean), atau total. Sementara itu, dalam penentuan ukuran sampel melalui model pendekatan statistika, terdapat rumus-rumus yang berlainan untuk pengukuran rata-rata, total, maupun proporsi.

2.        Berapa besar tingkat keandalan pendugaan yang diinginkan, yaitu dengan menetapkan nilai Z yang diambil dari tabel distribusi normal standar, atau nilai t yang diambil dari tabel distribusi t, atau nilai x^2 (symbol Chi kuadrat) yang diambil dari tabel distribusi Chi Kuadrat, berdasarkan pada nilai a tertentu. Dalam sebuah penelitian, pendugaan terhadap parameter populasi yang didasarkan pada statistik sampel tidak harus tepat betul walaupun harus tetap memperhatikan tingkat keandalannya. Dalam menduga ukuran sampel, tingkat keandalan menjadi sebuah aspek yang perlu diperhitungkan, sehingga peneliti bisa menyatakan, “dengan ukuran sampel tertentu, kita bisa sekian persen percaya bahwa statistik yang diperoleh dari pengukuran sampel dapat menggambarkan parameter populasinya”. Secara teknis tingkat keandalan didekati dari nilai a (symbol alfa) untuk menentukan distribusi Z, t, maupun x^2 (symbol Chi kuadrat).

3.        Berapa besar galat pendugaan yang akan ditolelir. Jika yang diukur proporsi atau persentase, maka galat pendugaan dinyatakan dalam satuan persen, sedangkan pengukuran lain disesuaikan dengan satuan yang dipakai, misalnya kalau pengukuran memakai satuan berat, maka galat pendugaan pun dinyatakan dalam satuan berat pula. Hal ini perlu juga diperhitungkan dalam membangun rumus untuk penentuan ukuran sampel. Sebab bagaimana pun sangat mungkin akan terjadi error kalau pengukuran tidak dilakukan terhadap seluruh anggota populasi. Dalam rumus, galat pendugaan sering diberi lambang dengan huruf d.

4.        Bagaimana kondisi keragaman populasi yang akan diteliti. Dalam hal ini sangat bergantung skala pengukuran yang dipakai dalam penelitian. Jika dalam penelitian memakai skala pengukuran interval atau rasio, maka keragaman dinyatakan dalam standar deviasi atau varians populasi u^2 (symbol varians), sementara kalau pengukuran berskala nominal dengan dua kategori dinyatakan dalam proporsi P(1-P). Ukuran dispersi menjadi salah satu landasan penting yang diperhitungkan untuk menentukan ukuran sampel.

Rumus untuk menghitung ukuran sampel dari suatu populasi ... selengkapnya klik pada link berikut ini: 

http://www.4shared.com/document/QXENyaH9/MENGHITUNG_BESAR_SAMPEL_PENELI.html

atau copy link berikut, lalu paste di area Address pada web browser, lalu enter

http://www.4shared.com/document/QXENyaH9/MENGHITUNG_BESAR_SAMPEL_PENELI.html

Menentukan Sampel Suatu Populasi Menggunakan Rumus Slovin

Berlandaskan tulisan yang dibuat oleh Krejcie dan Morgan (1970), Sudjana (1989), Gaspersz (1991), Supranto (1998), dan Barlett et.al. (2001), ketika seorang peneliti telah memutuskan untuk menggunakan pendekatan statistika dalam menentukan ukuran sampel, paling tidak harus sangat memperhatikan empat aspek mendasar berikut ini:

(1) Apa tujuan penelitian yang akan dilaksanakan, apakah untuk menduga nilai rata-rata, total, atau proporsi (persentase) populasi, dan bagaimana analisis data akan dilakukan, cukup deskriptif atau inferensi. Mengapa kita perlu mengetahui dengan tegas bagaimana variabel-variabel penelitian akan diukur. Sebabnya adalah, kalau variabel penelitian sifatnya katageorial, artinya akan menghasilkan pengukuran dalam skala nominal, dan deskripsi datanya menggunakan frekuensi yang sering ditampilkan dalam bentuk proporsi atau persentase. Sedangkan kalau ukuran variabel dalam skala interval atau rasio, sering dideskripsikan dengan nilai rata-rata (mean), atau total. Sementara itu, dalam penentuan ukuran sampel melalui model pendekatan statistika, terdapat rumus-rumus yang berlainan untuk pengukuran rata-rata, total, maupun proporsi.

(2) Berapa besar tingkat keandalan pendugaan yang diinginkan, yaitu dengan menetapkan nilai Z yang diambil dari tabel distribusi normal standar, atau nilai t yang diambil dari tabel distribusi t, atau nilai (Chi Kuadrat). yang diambil dari tabel distribusi Chi Kuadrat, berdasarkan pada nilai a tertentu. Dalam sebuah penelitian, pendugaan terhadap parameter populasi yang didasarkan pada statistik sampel tidak harus tepat betul walaupun harus tetap memperhatikan tingkat keandalannya. Dalam menduga ukuran sampel, tingkat keandalan menjadi sebuah aspek yang perlu diperhitungkan, sehingga peneliti bias menyatakan, “dengan ukuran sampel tertentu, kita bisa sekian persen percaya bahwa statistik yang diperoleh dari pengukuran sampel dapat menggambarkan parameter populasinya”. Secara teknis tingkat keandalan didekati dari nilai (alfa) untuk menentukan distribusi Z, t, maupun (Chi Kuadrat).

(3) Berapa besar galat pendugaan yang akan ditolelir. Jika yang diukur proporsi atau persentase, maka galat pendugaan dinyatakan dalam satuan persen, sedangkan pengukuran lain disesuaikan dengan satuan yang dipakai, misalnya kalau pengukuran memakai satuan berat, maka galat pendugaan pun dinyatakan dalam satuan berat pula. Hal ini perlu juga diperhitungkan dalam membangun rumus untuk penentuan ukuran sampel. Sebab bagaimana pun sangat mungkin akan terjadi error kalau pengukuran tidak dilakukan terhadap seluruh anggota populasi. Dalam rumus, galat pendugaan sering diberi lambang dengan huruf d.

(4) Bagaimana kondisi keragaman populasi yang akan diteliti. Dalam hal ini sangat bergantung skala pengukuran yang dipakai dalam penelitian. Jika dalam penelitian memakai skala pengukuran interval atau rasio, maka keragaman dinyatakan dalam standar deviasi atau varians populasi (sigma kuadrat), sementara kalau pengukuran berskala nominal dengan dua kategori dinyatakan dalam proporsi P(1-P). Ukuran dispersi menjadi salah satu landasan penting yang diperhitungkan untuk menentukan ukuran sampel.

Dengan demikian, ketika peneliti telah memutuskan untuk memakai rumus Slovin dan Tabel Krejcie-Morgan, agar penggunaannya tidak salah, maka harus mampu menjawab empat pertanyaan dasar berikut ini:

1. Apakah Rumus dan Tabel tersebut diperuntukan untuk penelitian yang ditujukan mengukur rata-rata, total, proporsi populasi, atau yang lainnya.
2. Berapa nilai (alfa) yang digunakan dalam Rumus dan Tabel tersebut, untuk menggambarkan tingkat keandalannya.
3. Berapa nilai galat pendugaan (d) yang dimasukan dalam perhitungan untuk memberi gambaran akibat dari kesalahan sampling .
4. Berapa besar keragaman populasi yang dipakai dalam perhitungan, dan bagaimana bentuknya, apakah berupa varians (sigma kuadrat) atau proporsi P(1-P).

KONSEP SLOVIN

Dalam banyak buku yang mencantumkan rumus untuk menentukan ukuran sampel yang dibuat Slovin, khususnya dalam buku-buku metodologi penelitian, sampai saat ini penulis belum bisa memperoleh keterangan yang lengkap mengenai konsep dasar yang dipakai membangun rumus tersebut. Untuk menentukan sample dari suatu populasi menggunakan rumus Slovin adalah:

Rumus Slovin:

n = (N)/(N*(d^2)+1)

dimana:

n= ukuran sampel
N= ukuran populasi
d= galat pendugaan atau taraf signifikan (biasanya 0,01 atau 0,05)