Aplikasi Fraksi Kontinu pada Barisan k_Fibonacci dan Persamaan Diophantine

Pencarian solusi fundamental (mendasar) persamaan Pell klasik x^2 − dy^2 = 1 telah dilakukan sebelumnya dengan metode siklik oleh Bhascara (Edwards, 1977), dengan metode faktorisasi oleh Fermat dan dengan metode reduksi oleh Lagrange (Jacobson, 2009), namun prosesnya kurang efisien. Selanjutnya pencarian solusi dengan metode fraksi kontinu berhingga sederhana pada ekspansi (penjabaran) √d pencarian solusi fundamental ternyata lebih efisien (Baltus, 2007, dan Seung, 2008). Selanjutnya Orgenes Tonga menemukan solusi persamaan Diophantine:

x^2 − (t^2 + t)y^2 = 1,

u^2 − (t^2 + t)v^2 = −32t + 4, dan

x^2 −(t^2 + t)y^2 - (16t + 4)x + (16t^2 + 16t)y = 0, (t>=1).

Dalam tulisan ini akan membahas bagaimana menyelesaikan persamaan Diophantine kuadratik menggunakan aplikasi fraksi kontinu.

Misalkan t ≥ 1 merupakan bilangan bulat positif. Akan ditentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Pell x^2 − (t^2 + t)y^2 = 1, yang dapat dipakai untuk menentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Pell u^2 − (t^2 + t)v^2 = −32t + 4. Selanjutnya akan ditentukan solusi bilangan bulat positif dari persamaan Diophantine

x^2 −(t^2 + t)y^2 - (16t + 4)x + (16t^2 + 16t)y = 0, (t>=1).

Diperoleh beberapa rumus dan hubungan rekurensi dalam solusi bilangan bulat positif (xn, yn) dari persamaan Diophantine

Lebih lanjut., Konsep fraksi kontinu  = [a0, a1, a2, ⋯, an] dapat dipakai dalam barisan k-Fibonacci.

Rasio dari dua unsur tertentu barisan k-Fibonacci ditentukan menggunakan konvergensi fraksi kontinu.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa fraksi kontinu dapat dipakai dalam menentukan rasio dari dua unsur tertentu barisan k-Fibonacci.

Tulisan selengkapnya, dapat dipelajari pada file berikut ini...
Download file Aplikasi Fraksi Kontinu pada Barisan k_Fibonacci dan Persamaan Diophantine.
Silahkan klik link berikut:

Barisan k-Fibonacci, silahkan klik k-Fibonacci
Persamaan Diophantine, Klik DISINI