Monte Carlo

MAKALAH
Orgenes Tonga (P3500210006)
"STUDI DAN IMPLEMENTASI PENGINTEGRASIAN NUMERIK MULTI DIMENSI
MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO"

A. PENDAHULUAN
Banyak permasalahan dalam ilmu sains yang melibatkan integrasi. Terkadang hasil integrasi ini dapat dihitung secara langsung secara matematis, tetapi seringkali hanya dibutuhkan suatu angka pasti yang mendekati hasil integrasi yang sebenarnya. Cara penghitungan untuk mendapatkan angka yang mendekati hasil integrasi yang sebenarnya disebut dengan integrasi numerik. Ada beberapa metode integrasi yang dikenal, akan tetapi pada makalah ini hanya akan berfokus pada metode Monte Carlo. Semua metode yang berupa prosedur numerik dimana keluarannya tergantung setidaknya pada sebuah variabel bilangan acak bisa disebut sebagai metode integrasi Monte Carlo.
Simulasi Monte Carlo adalah proses menurunkan secara acak nilai variabel tidak pasti secara berulang-ulang untuk mensimulasikan model. Metode Monte Carlo karena itu merupakan teknik stokastik. Kita dapat menemukan metode Monte Carlo diaplikasikan dalam berbagai bidang, mulai dari ekonomi sampai fisika nuklir untuk pengaturan lalu lintas aliran. Tentu saja cara aplikasinya berbeda dari satu bidang ke bidang lainnya, dan ada banyak sekali himpunan bagian Monte Carlo meskipun dalam satu bidang yang sama. Hal yang menyamakan semua itu adalah bahwa percobaan Monte Carlo membangkitkan bilangan acak untuk memeriksa permasalahan.
Walaupun menggunakan bilangan acak, Monte Carlo mempunyai akurasi yang cukup tinggi karena mempunyai metode solusi berdasarkan pada dasar teori probabilitas dan statistik. Untuk menghitung nilai integral dengan menggunakan metode Monte Carlo dibutuhkan suatu pembangkit bilangan acak dimana terdapat masalah juga dalam bagaimana bilangan semu-acak yang dihasilkan oleh komputer dapat memenuhi kebutuhan tersebut. Berbagai penerapan dari pengintegralan dengan metode Monte Carlo, diantaranya: aproksimasi bilangan Pi, aproksimasi masalah pengintegralan numerik, aproksimasi masalah cardioids, model Ising dalam Fisika, fenomena partikel dimana Monte Carlo menghasilkan titik-titik pada ruang fase multipartikuler, dan lainnya.

PENGINTEGRASIAN METODE MONTE CARLO

Sejarah Monte Carlo
Ide awal dimulainya pencarian suatu metode pendekatan untuk mencari suatu solusi dalam pemecahan masalah perlindungan radiasi dan jarak tempuh neutron, yang dicetuskan Enrico Fermi di tahun 1930-an. Pada saat itu para fisikawan di Laboratorium Sains Los Alamos sedang memeriksa perlindungan radiasi dan jarak yang akan neutron tempuh melalui beberapa macam material. Namun data yang didapatkan tidak dapat membantu untuk memecahkan masalah yang ingin mereka selesaikan karena ternyata masalah tersebut tidak bisa diselesaikan dengan penghitungan analitis. Lalu John von Neumann dan Stanislaw Ulam memberikan ide untuk memecahkan masalah dengan memodelkan eksperimen di computer, dimana metode tersebut dilakukan secara probabilitas. Karena takut hasil karyanya ditiru oleh orang lain, metode tersebut diberi kode nama dengan sebutan metode Monte Carlo.
Nama Monte Carlo kemudian akhirnya menjadi populer oleh Enrico Fermi, Stanislaw Ulam, dan rekan-rekan mereka sesama peneliti fisika. Nama Monte Carlo merujuk kepada sebuah kasino terkenal di Monako. Di sanalah paman dari Stanislaw Ulam sering meminjam uang untuk berjudi. Kegunaan dari ketidakteraturan dan proses yang berulang memiliki kesamaan dengan aktivitas di kasino.
Hal yang berbeda dari simulasi Monte Carlo adalah ia membalikkan bentuk simulasi yang umum. Metode ini akan mencari kemungkinan terlebih dahulu sebelum memahami permasalahan yang ada. Sementara umumnya menggunakan simulasi untuk menguji masalah yang sebelumnya telah dipahami. Walaupun pendekatan terbalik ini sudah ada sejak lama, namun pendekatan ini baru diakui setelah metode Monte Carlo populer. Dalam metode Monte Carlo menerapkan teknik yang disebut “Simulasi Monte Carlo” dan memiliki peranan yang sangat penting dalam pemecahan masalah melalui teknik computer karena simulasi Monte Carlo menggunakan angka acak untuk model semacam proses. Teknik ini bekerja sangat baik ketika proses adalah salah satu tempat probabilitas mendasar tetapi lebih sulit untuk menentukan hasilnya. Sebagian besar dari waktu CPU pada beberapa komputer tercepat di dunia dihabiskan untuk melakukan simulasi Monte Carlo karena kita bisa menuliskan beberapa hukum dasar fisika tetapi tidak dapat menyelesaikannya secara analitis sehingga diperlukan metode numeric seperti metode Monte Carlo untuk masalah kepentingan.
Metode ini telah digunakan di bidang fisika, kimia fisika, dan lain-lain. Rand Corporation dan U.S. Air Force merupakan sponsor utama dalam pengembangan metode Monte Carlo pada waktu itu dan metode ini semakin berkembang di berbagai bidang. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hydrogen, dan kemudian sangat popular dalam bidang fisika dan riset operasi sampai saat ini.
Teknik dalam metode simulasi Monte Carlo merupakan suatu teknik khusus dimana kita dapat membangkitkan beberapa hasil numerik tanpa secara aktual melakukan suatu tes eksperimen. Kita dapat menggunakan hasil dari tes sebelumnya yang pernah dilakukan untuk menentukan distribusi probabilitas dari parameter-parameter yang ditinjau dalam kasus tersebut. Kemudian kita menggunakan informasi ini untuk membangkitkan parameter-paramater data numerik. Dasar dari prosedur teknik simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan acak semu. Menurut Kakiay (2004), metode Monte Carlo dikenal juga dengan istilah Sampling Simulasi atau Monte Carlo Sampling Technique. Metode monte carlo menggunakan data yang sudah ada (historical data). Metode monte carlo merupakan salah satu algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai prilaku sistem fisika dan matematika, yang secara klasik penggunaan metode ini adalah untuk mengevaluasi integral tertentu (definit), terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit. Menurut Subagyo, Asri dan Handoko (2000) Model Stochastic juga disebut model simulasi Monte Carlo dimana sifat – sifat keluaran (output) dari proses ditentukan berdasarkan, iterasi dan merupakan hasil dari konsep random (acak).
Karena agoritma ini memerlukan perulangan (repetisi) dan perhitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode monte carlo numeric yang digunakan untuk menemukan solusi problem matematis (yang dapat terdiri dari banyak variable) yang susah dipecahkan, misalnya dengan kalkulus intergral, atau metode numeric lainnya. Penggunaan metode Monte Carlo membutuhkan sejumlah besar angka acak sehingga metode ini, menggunakan pembangkitan bilangan acak semu (pseudorandom number generator) dengan menggunakan algoritma tertentu sesuai kebutuhan.
Penggunaan metode Monte Carlo untuk mendapatkan solusi numeric dengan nilai estimasi yang paling mendekati dari yang diharapkan dengan cara bereksperimen melalui angka-angka acak yang dihasilkan RNG (Random Generator) dan teori probabilitas. Penggunaan pembangkitan bilangan acak akan lebih efektif digunakan dari pada tabel angka acak yang telah ada sebelumnya dan sering digunakan untuk pengambilan sampel statistik.

Pengintegrasian Metode Monte Carlo Pada Perhitungan Integral
Sebelum membahas mengenai algoritma metode Monte Carlo, akan diberikan beberapa teorema pendukung dalam metode Monte Carlo.
Nilai Rerata. Serangkaian nilai yang menyebar dalam suatu fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai luas daerah pada interval tertentu memiliki nilai rata-rata integral.

Teorema 1 (Teorema Nilai Rerata untuk Integral): Jika f(x) kontinu pada [a,b], maka terdapat bilangan c dengan a
Berlanjut...