Called mathematics the "queen of the sciences" and considered number theory the "queen of mathematics"
Matematika disebut "ratu ilmu pengetahuan" dan teori bilangan dianggap sebagai "ratu matematika"
Matematika disebut "ratu ilmu pengetahuan" dan teori bilangan dianggap sebagai "ratu matematika"
(Beiler 1966, Goldman 1997).
SOAL1:
Diketahui persamaan kuadrat x^2+x+1=0 akar-akarnya adalah a dan b. Tentukanlah nilai dari a^6033 + b^6033
Solusi:
karena a adalah salah satu akar maka dapat x^2+x+1=0 ditulis a^2+a+1, sehingga:
a^2+a+1=0 maka 1 = -a^2 - a
a^2 = -a - 1 dikali a menjadi
a^3 = -a^2 - a
a^3 = 1
karena a adalah salah satu akar maka dapat x^2+x+1=0 ditulis b^2+b+1, sehingga:
b^2+b+1=0 maka 1 = -b^2 - b
b^2 = -b - 1 dikali b menjadi
b^3 = -b^2 - b
b^3 = 1
Sehingga
a^6033 + b^6033
=(a^3)^2011 + (b^3)^2011
=(1)^2011 + (1)^2011
=(1) + (1)
=2
SOAL2:
1+4+9+16+25+...+(2011^2)=???
Solusi:
Bilangan Kuadrat sama dengan Penjumlahan bilangan ganjil pertama.
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100
dan seterusnya ...
==>1 + 3 + ... + (2n−3) + (2n−1) =(1 + 3 + ... + (2n−3))+ (2n−1)
==>(n-2)^2+(2n-1)=n^2
Jumlah bilangan kuadrat pertama adalah:
n(n + 1)(2n + 1)/6
maka:
(1 + 4 + 9 + ... + n^2)= n(n + 1)(2n + 1)/6
untuk n=2012:
=(1^2)+(2^2)+(3^2)+(4^2)+...+(2011^2)
=(2011)(2012)(2*2012+1)/6
=(4046132)(4025)/6
=16285681300/6
SOAL3:
Jika
S=akar[1+(1/1^2)+(1/2^2)]+akar[1+(1/2^2)+(1/3^2)]+akar[1+(1/3^2)+(1/4^2)]+...+akar[1+(1/2010^2)+(1/2012^2)]
Maka
S=...
SOLUSI:
Sk=akar{1+(1/k^2)+(1/(k+1)^2)}
=akar{[((k^2)((k+1)^2))/((k^2)((k+1)^2))]+[((k+1)^2)/((k^2)((k+1)^2))]+[(k^2)/((k^2)((k+1)^2))]}
=akar{[((k^2)((k+1)^2))+((k+1)^2)+(k^2)]/[(k^2)((k+1)^2)]}
=akar{[((k^2)(k^2+2k+1))+(k^2+2k+1)+(k^2)]/[(k^2)((k+1)^2)]}
=akar{[(k^4+2k^3+k^2)+(k^2+2k+1)+(k^2)]/[(k(k+1))^2]}
=akar{[k^4+2k^3+3k^2+2k+1]/[(k(k+1))^2]}
=akar{[(k^2+k+1)^2]/[(k(k+1))^2]}
={[k^2+k+1]/[k(k+1)]}
=[k^2+k+1]/[k^2+k]
=[(k^2+k)+(1)]/[k^2+k]
=[(k^2+k)/(k^2+k)]+[(1)/(k^2+k)]
=[1]+[(1)/(k^2+k)]
=[1]+[(1)/(k(k+1))]
=[1]+[(1/k)-(1/(k+1))]
Maka:
S=akar[1+(1/1^2)+(1/2^2)]+akar[1+(1/2^2)+(1/3^2)]+akar[1+(1/3^2)+(1/4^2)]+...+akar[1+(1/2010^2)+(1/2012^2)]
S=[1+(1/1)-(1/2)]+[1+(1/2)-(1/3)]+[1+(1/3)-(1/4)]+...+[1+(1/2009)-(1/2010)]+[1+(1/2010)-(1/2011)]
=[1+1+1+...+1+(1/1)]-[(1/2011)]
=[2010+(1)]-[(1/2011)]
=[2011]-[(1/2011)]
SOAL4:
Jika N=(9)+(99)+(999)+(9999)+...+(999...9), dimana banyaknya angka 9 pada suku terakhir sebanyak 2011.
Tentukan nilai dai N
Tentukan lima angka terakhir nilai N
SOLUSI:
N=(9)+(99)+(999)+(9999)+...+(999...9), suku terakhir adalah angka 9 sebanyak 2011 angka
N=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+...(1000...0-1), angka nol pada suku terakhir sebanyak 2011
N=[(10)+(100)+(1000)+...+(1000...0)]-[1+1+1+...+1], angka nol pada suku terakhir dalam kelompok I sebanyak 2011, dan angka 1 dalam kelompok II sebanyak 2011
N=[111...10]-[2011], angka 1 dalam kelompok I sebanyak 2011
N=111...109099, angka 1 sebanyak 2007
Lima angka terakhir dari nilai N adalah 09099
SOAL5:
Jika A1=2, A2=3, dan untuk k>2 didefinisikan bahwa: Ak=[(1/2)*A(k-2)]+[(1/3)*A(k-1)]
Tentukan: A1+A2+A3+A4+A5+...
SOLUSI:
Jika anda berusaha, pasti anda bisa jawab...
SOAL6:
SOAL7:
Jika 1+2+3+...+n = yyy, maka nilai n dan yyy adalah...
SOLUSI:
1+2+3+...+n = yyy
(n/2)(U1+Un) = 111y
(n/2)(1+n) = 3*y*37
(1/2)n + (1/2)n^2 = 3*y*37 dikalikan 2, maka
n^2 + n = 6*y*37
n(n+1) = 6*y*37
analisa:
n*(n+1) = 6*y*37
(36)*(36+1) = (6*6)*(37)
(36)*(37) = 6*6*37
Maka:
n=36 dan y=6
SOAL8:
Diketahui:
A=3+33+333+...+333...3 (angka 3 pada suku yang terakhir sebanyak 2011 angka)
B adalah jumlah digit-digit A
Maka nilai B = ...?
SOAL9:
Rumus untuk setiap deret berikut adalah:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + n =...
1 + 4 + 9 + 16 + ... + n^2 =...
1 + 8 + 27 + 64 + ... + n^3 =...
1 + 16 + 81 + 256 + ... + n^4 =...
1 + 32 + 243 + 1024 + ... + n^5 =...
1 + 64 + 729 + 4096 + ... + n^6 =...
1 + 128 + 2187 + 16384 + ... + n^7 =...
1 + 256 + 6561 + 65536 + ... + n^8 =...
1 + 512 + 19683 + 262144 + ... + n^9 =...
1 + 1024 + 59049 + 1048576 + ... + n^10 =...
SOLUSI:
Rumus umumnya adalah:
1+2+3+4+...+ n = (1/2)n2 + (1/2)n
1+4+9+16+...+ n^2 = (1/3)n3 + (1/2)n2 + (1/6)n
1+8+27+64+...+ n^3 = (1/4)n4 + (1/2)n3 + (1/4)n2
1+16+81+256+...+ n^4 = (1/5)n5 + (1/2)n4 + (1/3)n3 - (1/30)n
1+32+243+1024+...+ n^5 = (1/6)n6 + (1/2)n5 + (5/12)n4 - (1/12)n2
1+64+729+4096+...+ n^6 = (1/7)n7 + (1/2)n6 + (1/2)n5 - (1/6)n3 + (1/42)n
1+128+2187+16384+...+ n^7 = (1/8)n8 + (1/2)n7 + (7/12)n6 - (7/24)n4 + (1/12)n2
1+256+6561+65536+...+ n^8 = (1/9)n9 + (1/2)n8 + (2/3)n7 - (7/15)n5 + (2/9)n3 - (1/30)n
1+512+19683+262144+...+ n^9 = (1/10)n10 + (1/2)n9 + (3/4)n8 - (7/10)n6 + (1/2)n4 - (3/20)n2
1+1024+59049+1048576+...+ n^10 = (1/11)n11 + (1/2)n10 + (5/6)n9 - n7 + n5 - (1/2)n3 + (5/66)n
SOAL10:
Hasil dari (1,5)^2 + (2,5)^2 + (3,5)^2 + ... + (n + 0,5)^2 = ....
SOLUSI:
(1,5)^2 + (2,5)^2 + (3,5)^2 + ... + (n + 0,5)^2
= (1 + 0,5)^2 + (2 + 0,5)^2 + (3 + 0,5)^2 + ... + (n + 0,5)^2
= (1^2 + 1*1 + 0,25) + (2^2 + 1*2 + 0,25) + (3^2 + 1*3 + 0,25) + ... + (n^2 + 1*n + 0,25)
= (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) + (1*1 + 1*2 + 1*3 + ... + 1*n) + (0,25 + 0,25 + 0,25 + ... + 0,25)
(kelompok I, II dan III, masing-masing sebanyak n suku)
= {[n(n+1)(2n+1)]/6} + {[n(1+n)]/2} + {n(0,25)}
= {[2n(n+1)(2n+1)]/12} + {[6n(1+n)]/12} + {[12n(0,25)]/12}
= {[(2n^2 + 2n)(2n+1)]/12} + {[6n^2 + 6n]/12} + {[3n]/12}
= {[4n^3 + 2n^2 + 4n^2 + 2n]/12} + {[6n^2 + 6n]/12} + {[3n]/12}
= {[4n^3 + 12n^2 + 11n]/12}
SOAL11:
Jika R adalah jari-jari lingkaran luar segitiga dengan sisinya a, b, c, maka tentukan luas segitiga tersebut.
SOLUSI:
pasti anda bisa selesaikan...
SOAL12:
wah... bapak hebat ych,,,,
BalasHapusAldy: anda juga hebat, jika terus berusaha menjawab soal-soal yang menantang...
BalasHapusmkasih pak,,,,,
BalasHapusoh iya,,,, bisa mi di kerjakan itu soal yang pernah di bhas pak,,,,????
BalasHapusya... sy sdh bahas. (Lihat soal nomor 2 di atas)
BalasHapusmakasih pak,,,
BalasHapus